چند درصد از حجم شکل زیر برداشته شده است

برای محاسبه درصد حجم برداشته شده از یک شکل، باید حجم قسمت حذف شده را بر حجم کل شکل اولیه تقسیم و نتیجه را در 100 ضرب کنید. با یاد گرفتن چند تا مفهوم پایه، می تونیم به راحتی از پس این جور مسائل بربیایم. شاید این سوال اولش کمی ترسناک به نظر بیاد، ولی نگران نباشید! وقتی مرحله به مرحله پیش بریم، می بینید که چقدر آسونه و حتی ممکنه از حل کردنش لذت ببرید.

هدف ما اینه که شما رو با یک روش ساده و کاربردی آشنا کنیم تا هر وقت با چنین سوالی روبرو شدید، خودتون بتونید به راحتی آب خوردن حلش کنید. چه دانش آموز باشید که دنبال کمک برای تکالیفتون می گردید، چه پدر و مادری که می خواهید به فرزندتون کمک کنید، یا حتی معلمی که دنبال یک روش تدریس جذاب می گرده، این مقاله دقیقا برای شماست. قراره با هم، قدم به قدم، از مفاهیم اولیه حجم و درصد شروع کنیم و برسیم به حل مسائل پیچیده تر. پس بیایید دست به کار شیم و ببینیم داستان از چه قراره!

آشنایی با مفاهیم پایه هندسه و درصد

قبل از اینکه بریم سراغ حل مسئله اصلی، لازمه چند تا مفهوم اولیه رو با هم مرور کنیم. این مفاهیم مثل آجرهای اولیه ساختمون هستن؛ اگه اونا رو خوب بشناسیم، بقیه کار خیلی راحت تر می شه.

حجم چیست؟

تصور کنید یه اتاق داریم. فضای داخل این اتاق چقدره؟ یا فرض کنید یه لیوان داریم، چقدر آب می تونیم داخلش بریزیم؟ به اون مقدار فضا که یه جسم سه بعدی اشغال می کنه یا ظرفیت نگهداری اون جسم، می گیم حجم. حجم به ما نشون می ده که یک شیء چقدر جا می گیره. مثلاً، حجم یک مکعب، اندازه ای از فضای داخلی اونه. واحدهای اندازه گیری حجم معمولاً سانتی متر مکعب (cm³)، متر مکعب (m³)، لیتر (L) یا میلی لیتر (mL) هستن. یادتون باشه که هر واحدی که برای طول، عرض و ارتفاع استفاده می کنید، باید در نهایت به توان سه برسه تا واحد حجم به دست بیاد.

محاسبه حجم اشکال هندسی متداول

توی دنیای ریاضی، اشکال هندسی مختلفی داریم که هر کدوم فرمول حجم مخصوص خودشون رو دارن. اینجا سراغ دو تا از پرکاربردترین هاشون می ریم: مکعب و مکعب مستطیل.

حجم مکعب

مکعب همون شکلیه که هر شش وجهش مربعه و همه اندازه های طول، عرض و ارتفاعش با هم برابرن. یعنی اگر یه سمتش ۲ سانت باشه، هم طولش ۲ سانته، هم عرضش و هم ارتفاعش. برای پیدا کردن حجم مکعب، کافیه اندازه یک ضلع رو سه بار در خودش ضرب کنیم.

فرمول حجم مکعب:

ضلع × ضلع × ضلع = حجم
یا به صورت ساده تر: ضلع^۳

مثال: فرض کنید یک مکعب داریم که طول هر ضلعش ۴ سانتی متره. حجمش چقدر می شه؟
حجم = ۴ سانتی متر × ۴ سانتی متر × ۴ سانتی متر = ۶۴ سانتی متر مکعب

دیدید چقدر راحته؟ فقط کافیه یه عدد رو سه بار ضرب کنید.

حجم مکعب مستطیل

مکعب مستطیل مثل یه جعبه کفش یا یه آجر می مونه. یعنی طول، عرض و ارتفاعش ممکنه با هم فرق داشته باشن. برای محاسبه حجم مکعب مستطیل، باید این سه تا اندازه رو در هم ضرب کنیم.

فرمول حجم مکعب مستطیل:

طول × عرض × ارتفاع = حجم

مثال: یه جعبه داریم که طولش ۱۰ سانتی متر، عرضش ۵ سانتی متر و ارتفاعش ۳ سانتی متره. حجمش رو حساب می کنیم:
حجم = ۱۰ سانتی متر × ۵ سانتی متر × ۳ سانتی متر = ۱۵۰ سانتی متر مکعب

تا اینجا که خوب پیش رفتیم، نه؟

درصد چیست؟

وقتی می گیم «درصد»، منظورمون «از صد» هستش. یعنی هر عددی رو که به صورت درصد بیان می کنیم، داریم اون رو نسبت به ۱۰۰ واحد کل می سنجیم. مثلاً اگه بگیم ۵۰ درصد یه چیزی، یعنی نصف اون چیز. درصد یه ابزار عالیه برای مقایسه و نشون دادن قسمت های مختلف یک کل.

نحوه تبدیل کسر به درصد

برای اینکه یک کسر رو به درصد تبدیل کنیم، خیلی ساده است: کافیه اون کسر رو در ۱۰۰ ضرب کنیم.

مثال: فرض کنید کسری مثل ۱/۴ (یک چهارم) داریم و می خواهیم اون رو به درصد تبدیل کنیم.
۱/۴ × ۱۰۰ = ۲۵%
پس ۱/۴ میشه ۲۵ درصد.

نحوه محاسبه درصد از یک مقدار کل

گاهی هم می خواهیم بدونیم درصدی از یک عدد، دقیقاً چند می شه. مثلاً ۲۰ درصد از ۲۰۰ چیست؟
برای این کار، اول درصد رو به کسر (بر ۱۰۰) یا عدد اعشاری تبدیل می کنیم، بعد در عدد کل ضرب می کنیم.
۲۰ درصد از ۲۰۰ = (۲۰/۱۰۰) × ۲۰۰ = ۰.۲۰ × ۲۰۰ = ۴۰
پس ۲۰ درصد از ۲۰۰، عدد ۴۰ هستش.

با این مفاهیم پایه، حالا کاملاً آماده ایم که بریم سراغ مسئله اصلی و ببینیم چطور می تونیم درصد حجم برداشته شده از یک شکل رو پیدا کنیم.

گام به گام: چطور درصد حجم برداشته شده را حساب کنیم؟

خب، حالا که مفاهیم اصلی رو یاد گرفتیم، می رسیم به قسمت هیجان انگیز ماجرا: حل مسئله اصلی! اجازه بدید فرض کنیم شکل زیر (که البته اینجا تصویرش نیست، ولی شما می تونید توی ذهنتون تجسمش کنید یا به شکلی که توی مسئله تون هست نگاه کنید) یک مکعب مستطیل اولیه بوده که قسمتی ازش برداشته شده. فرض می کنیم این مکعب مستطیل اولیه ابعادش اینا بوده: طول ۵ سانتی متر، عرض ۴ سانتی متر و ارتفاع ۲.۵ سانتی متر. و فرض کنید دو تا قسمت کوچیک (شبیه مکعب مستطیل های کوچکتر) ازش برداشته شده، که ابعاد هر کدوم از این قسمت های برداشته شده: طول ۲.۵ سانتی متر، عرض ۱ سانتی متر و ارتفاع ۲ سانتی متر هست. حالا بیایید گام به گام جلو بریم:

گام ۱: حجم کل شکل اولیه رو پیدا کن

اولین کاری که باید بکنیم اینه که بفهمیم شکل ما، قبل از اینکه چیزی ازش کم بشه، کلاً چقدر حجم داشته. این کار مثل اینه که شما یه کیک کامل دارید و می خواهید ببینید چند درصدش رو خورده اید؛ اول باید حجم کل کیک رو بدونید.

شناسایی ابعاد:
ابعاد مکعب مستطیل اولیه ما این بود:
* طول = ۵ سانتی متر
* عرض = ۴ سانتی متر
* ارتفاع = ۲.۵ سانتی متر

اعمال فرمول حجم:
حجم مکعب مستطیل = طول × عرض × ارتفاع
حجم کل = ۵ سانتی متر × ۴ سانتی متر × ۲.۵ سانتی متر
حجم کل = ۲۰ سانتی متر مربع × ۲.۵ سانتی متر
حجم کل = ۵۰ سانتی متر مکعب

پس حجم شکل اولیه ما، ۵۰ سانتی متر مکعب بوده. این عدد رو فعلاً نگه می داریم، چون خیلی به کارمون میاد.

گام ۲: حجم قسمت های برداشته شده رو حساب کن

حالا نوبت به اون قسمت هایی می رسه که از شکل اولیه جدا شدن. باید بفهمیم این قسمت ها روی هم رفته چقدر حجم داشتن. این همون قسمتی از کیکه که خوردین!

تجسم و تفکیک:
فرض کردیم دو تا قسمت کوچیک (هر کدوم مکعب مستطیل) از شکل اولیه برداشته شده.
ابعاد هر قسمت برداشته شده:
* طول = ۲.۵ سانتی متر
* عرض = ۱ سانتی متر
* ارتفاع = ۲ سانتی متر

محاسبه حجم هر قسمت برداشته شده:
حجم یک قسمت برداشته شده = طول × عرض × ارتفاع
حجم یک قسمت = ۲.۵ سانتی متر × ۱ سانتی متر × ۲ سانتی متر
حجم یک قسمت = ۲.۵ سانتی متر مربع × ۲ سانتی متر
حجم یک قسمت = ۵ سانتی متر مکعب

جمع زدن حجم تمام قسمت های برداشته شده:
چون دو تا قسمت برداشته شده، باید حجمشون رو با هم جمع کنیم:
حجم کل قسمت های برداشته شده = حجم قسمت ۱ + حجم قسمت ۲
حجم کل قسمت های برداشته شده = ۵ سانتی متر مکعب + ۵ سانتی متر مکعب
حجم کل قسمت های برداشته شده = ۱۰ سانتی متر مکعب

تا اینجا، حجم کل رو داریم (۵۰ سانتی متر مکعب) و حجم قسمت برداشته شده رو هم داریم (۱۰ سانتی متر مکعب). بریم برای گام بعدی!

گام ۳: نسبت حجم برداشته شده به حجم کل رو به دست بیار

حالا باید ببینیم اون حجمی که برداشته شده، چقدر از حجم کل شکل رو تشکیل می داده. این دقیقا همون مفهوم «نسبت» هست که توی ریاضی یاد گرفتیم. یعنی یه کسر می نویسیم که صورتش حجم برداشته شده و مخرجش حجم کل شکله.

محاسبه کسر:
نسبت = (حجم قسمت های برداشته شده) / (حجم کل شکل اولیه)
نسبت = ۱۰ سانتی متر مکعب / ۵۰ سانتی متر مکعب
نسبت = ۱۰/۵۰

می تونیم این کسر رو ساده تر هم بکنیم:
۱۰/۵۰ = ۱/۵ (یک پنجم)

این کسر به ما می گه که ۱/۵ (یا یک پنجم) از حجم کل شکل برداشته شده. حالا فقط یه قدم دیگه مونده تا به جواب نهایی برسیم!

همیشه یادتون باشه که گام اول، محاسبه حجم کل شکله، چه مکعب باشه و چه مکعب مستطیل. بدون این عدد، نمی تونیم درصد برداشته شده رو پیدا کنیم.

گام ۴: نسبت رو به درصد تبدیل کن

خب، الان یه کسر داریم که نشون می ده چه نسبتی از حجم برداشته شده. برای اینکه این نسبت رو به درصد تبدیل کنیم، کافیه همونطور که قبلاً گفتیم، اون رو در ۱۰۰ ضرب کنیم.

تبدیل کسر به اعشار:
۱/۵ = ۰.۲

ضرب عدد اعشاری در ۱۰۰:
درصد برداشته شده = ۰.۲ × ۱۰۰
درصد برداشته شده = ۲۰%

پاسخ نهایی

پس با این حساب، ۲۰ درصد از حجم شکل اولیه ما برداشته شده است. دیدید؟ خیلی هم سخت نبود! فقط کافیه مراحل رو با دقت و پشت سر هم انجام بدیم.

تمرین و مثال های بیشتر برای حرفه ای شدن

حالا که روش اصلی رو یاد گرفتیم، بیایید با چند تا مثال دیگه خودمون رو محک بزنیم تا حسابی توی این قضیه حرفه ای بشیم. هرچی بیشتر تمرین کنیم، این مدل مسائل برامون راحت تر می شن.

مثال ۱: محاسبه درصد حجم باقی مانده

گاهی سوال می کنه که چند درصد از حجم شکل باقی مانده است؟. این دقیقا برعکس سوال اصلی ماست. فرض کنید یک لیوان آب مکعب مستطیلی شکل داریم با ابعاد: طول ۵ سانتی متر، عرض ۵ سانتی متر و ارتفاع ۱۰ سانتی متر. اگه این لیوان تا ارتفاع ۴ سانتی متر پر از آب باشه، چند درصد از حجم لیوان پر شده (باقی مانده)؟

گام ۱: محاسبه حجم کل لیوان
طول = ۵ سانتی متر، عرض = ۵ سانتی متر، ارتفاع = ۱۰ سانتی متر
حجم کل = ۵ × ۵ × ۱۰ = ۲۵۰ سانتی متر مکعب

گام ۲: محاسبه حجم آب (حجم باقی مانده/پر شده)
آب تا ارتفاع ۴ سانتی متر لیوان رو پر کرده. پس ابعاد بخش پر شده:
طول = ۵ سانتی متر، عرض = ۵ سانتی متر، ارتفاع = ۴ سانتی متر
حجم آب = ۵ × ۵ × ۴ = ۱۰۰ سانتی متر مکعب

گام ۳: محاسبه نسبت حجم آب به حجم کل لیوان
نسبت = حجم آب / حجم کل لیوان
نسبت = ۱۰۰ / ۲۵۰ = ۱۰ / ۲۵ = ۲ / ۵

گام ۴: تبدیل نسبت به درصد
درصد پر شده = (۲/۵) × ۱۰۰ = ۰.۴ × ۱۰۰ = ۴۰%

پس ۴۰ درصد از حجم لیوان پر از آب است. اگه سوال می پرسید چند درصد خالیه، کافی بود ۱۰۰ رو منهای ۴۰ می کردیم که می شد ۶۰ درصد.

مثال ۲: شکل پیچیده تر با چند بخش برداشته شده

حالا فرض کنید یه مکعب داریم با طول ضلع ۶ سانتی متر. از یکی از گوشه هاش، یه مکعب کوچیک با طول ضلع ۲ سانتی متر برداشته شده. و از وسط یکی دیگه از وجه هاش، یه سوراخ مکعب مستطیلی با ابعاد طول ۴، عرض ۲ و ارتفاع ۲ سانتی متر ایجاد شده (مثل یک تونل که از یه طرف وارد و از طرف دیگه خارج میشه و دقیقا هم از وسط عبور میکنه). چند درصد از حجم مکعب اولیه برداشته شده است؟

گام ۱: محاسبه حجم کل مکعب اولیه
ضلع = ۶ سانتی متر
حجم کل = ۶ × ۶ × ۶ = ۲۱۶ سانتی متر مکعب

گام ۲: محاسبه حجم قسمت های برداشته شده
* بخش اول (مکعب گوشه):
ضلع = ۲ سانتی متر
حجم = ۲ × ۲ × ۲ = ۸ سانتی متر مکعب
* بخش دوم (سوراخ مکعب مستطیلی):
ابعاد = طول ۴، عرض ۲، ارتفاع ۲ سانتی متر
حجم = ۴ × ۲ × ۲ = ۱۶ سانتی متر مکعب

نکته مهم: اینجا سوراخ رو به عنوان یک بخش برداشته شده کامل در نظر می گیریم. (باید در تصویر مشخص باشد که آیا تونل کاملاً خارج شده یا فقط یک برش است. برای سادگی، فرض می کنیم یک تکه ۱۶ سانتی متر مکعبی کامل برداشته شده.)

حجم کل قسمت های برداشته شده = ۸ + ۱۶ = ۲۴ سانتی متر مکعب

گام ۳: محاسبه نسبت حجم برداشته شده به حجم کل
نسبت = حجم برداشته شده / حجم کل
نسبت = ۲۴ / ۲۱۶

برای ساده کردن کسر، هم صورت و هم مخرج رو بر عدد مشترک تقسیم می کنیم. هر دو بر ۸ بخش پذیرند:
۲۴ ÷ ۸ = ۳
۲۱۶ ÷ ۸ = ۲۷
پس نسبت = ۳ / ۲۷
دوباره ساده می کنیم، هر دو بر ۳ بخش پذیرند:
۳ ÷ ۳ = ۱
۲۷ ÷ ۳ = ۹
پس نسبت = ۱ / ۹ (یک نهم)

گام ۴: تبدیل نسبت به درصد
درصد برداشته شده = (۱/۹) × ۱۰۰
درصد برداشته شده ≈ ۰.۱۱۱۱ × ۱۰۰ ≈ ۱۱.۱۱%

پس تقریباً ۱۱.۱۱ درصد از حجم مکعب اولیه برداشته شده است.

خودآزمایی: حالا نوبت شماست!

خب، حالا که حسابی ورزیده شدید، وقتشه که خودتون دست به کار بشید. این دو تا سوال رو بدون نگاه کردن به جواب (اگه جوابی هست!) حل کنید و بعدش برای خودتون امتیاز بذارید.

1. یه مکعب مستطیل داریم با ابعاد: طول ۸ سانتی متر، عرض ۵ سانتی متر و ارتفاع ۶ سانتی متر. از این مکعب مستطیل، یه مکعب کوچیک با طول ضلع ۳ سانتی متر از یکی از گوشه هاش برداشته شده. چند درصد از حجم این مکعب مستطیل برداشته شده است؟
2. یه شکل استوانه ای فرضی با حجم کل ۱۰۰۰ سانتی متر مکعب داریم. (برای این تمرین، فرض کنید حجم کلی داده شده است و نیازی به محاسبه با فرمول نیست). اگه از این شکل، قسمتی به حجم ۲۵۰ سانتی متر مکعب برداشته شده باشه، چند درصد از حجم اون باقی مونده؟

سعی کنید تمام گام ها رو بنویسید و بعد جواب هاتون رو چک کنید. این بهترین راه برای اینه که مطمئن بشید موضوع رو کامل فهمیدید.

چند تا نکته طلایی برای حل مسائل حجم و درصد

برای اینکه همیشه توی حل این جور مسائل موفق باشید و هیچ وقت گیر نکنید، چند تا نکته مهم رو توی ذهنتون داشته باشید:

• تصویرسازی و رسم دقیق: اگه مسئله ای که دارید تصویر نداره، خودتون اون رو رسم کنید. حتی یه اسکیس ساده هم می تونه خیلی بهتون کمک کنه تا ابعاد و قسمت های برداشته شده رو بهتر تجسم کنید و اشتباه نکنید.
• مشخص کردن ابعاد کامل: همیشه اولین قدم این باشه که ابعاد کامل و اولیه شکل رو (قبل از اینکه چیزی ازش کم بشه) مشخص کنید و حجم کلش رو به دست بیارید. این پایه و اساس همه محاسبات بعدی شماست.
• دقت در شناسایی قسمت های حذف شده: با دقت نگاه کنید که چه قسمت هایی از شکل برداشته شده اند. گاهی ممکنه یک سوراخ، یک برش یا چند قطعه جدا شده باشند. هر کدوم از اینها رو باید جداگانه در نظر بگیرید و حجمشون رو محاسبه کنید.
• یکسان بودن واحدهای اندازه گیری: خیلی مهمه که همه اندازه ها (طول، عرض، ارتفاع، و در نتیجه حجم) رو با یک واحد اندازه گیری ثابت کار کنید. مثلاً همه رو به سانتی متر مکعب تبدیل کنید، نه اینکه یکیش سانتی متر باشه و یکیش متر.
• مرور مفاهیم پایه درصد و کسر: اگه احساس کردید جایی گیر کردید، برگردید و مفاهیم پایه درصد و کسر رو مرور کنید. گاهی مشکل از عدم درک صحیح این اصول اولیه است.
• تقسیم مسئله به گام های کوچک: هیچ وقت سعی نکنید همه مسئله رو یک جا حل کنید. اون رو به مراحل کوچک تر تقسیم کنید (همین چهار گامی که با هم بررسی کردیم) و هر گام رو با دقت پیش ببرید. این کار هم از اشتباه جلوگیری می کنه و هم استرس شما رو کم می کنه.

دقت در واحدها رو جدی بگیرید! اگه طول رو بر حسب متر و عرض رو بر حسب سانتی متر حساب کنید، به مشکل می خورید. همیشه قبل از شروع، همه واحدها رو به یک شکل دربیارید.

نتیجه گیری

خب دوستان، به انتهای مسیر آموزشیمون رسیدیم! دیدید که چطور با یاد گرفتن چند تا فرمول ساده و رعایت کردن چند تا گام مشخص، می تونیم به سوالی مثل چند درصد از حجم شکل زیر برداشته شده است؟ به راحتی پاسخ بدیم. مهم نیست سوال چقدر پیچیده به نظر بیاد، با این روش مرحله به مرحله می تونید هر مسئله ای رو حل کنید.

یادگیری این مفاهیم فقط برای حل مسائل ریاضی مدرسه نیست؛ توی زندگی روزمره هم ممکنه به دردتون بخوره، مثلاً وقتی می خواهید ظرفیت یه کمد رو حساب کنید یا بفهمید چند درصد از ظرف غذاتون خالی شده. پس این مهارت رو دست کم نگیرید.

از شما می خوام که حتماً تمرین کنید. هرچی بیشتر تمرین کنید و مسائل بیشتری رو حل کنید، این مهارت توی ذهنتون ملکه می شه. اگه سوالی داشتید یا جایی براتون مبهم بود، فراموش نکنید که هیچ سوالی احمقانه نیست.

امیدوارم این مقاله براتون مفید بوده باشه و تونسته باشید به راحتی این مفهوم رو یاد بگیرید. اگه دوست داشتید، می تونید به بقیه مطالب آموزشی ما هم سر بزنید و چیزهای جدیدتری یاد بگیرید. خوشحال می شیم که همراهمون باشید!